全国大学生数学竞赛大纲

全国大学生数学竞赛大纲

全国大学生数学竞赛（非数学类）大纲

一、函数、极限、连续

1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.

9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学

1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.

7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.

8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学

1. 原函数和不定积分的概念.

2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.

3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、

牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.

7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行

截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程

1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方

程、全微分方程.

3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y(n) f(x),

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