全国大学生数学竞赛大纲(6)

全国大学生数学竞赛大纲

limg(x) lim

x 0

x 0

x0

f(u)dux

lim

x 0

f(x)

f(0) 0 1

当x 0时，

g (x)

1x2

x0

f(u)du

f(x)

， x

x1x

f(t)dtf(t)dt 0 f(x)Ag(x) g(0)0 lim g (0) lim lim lim2x 0x 0x 0x 02x2xxx

1xf(x)f(x)1xAA

limg (x) lim[ 2 f(u)du ] lim lim2 f(u)du A

0x 0x 0x 0x 0xx0xx22

这表明g (x)在x 0处连续.

四、（15分）已知平面区域D {(x,y)|0 x ,0 y }，L为D的正向边界，试证：

（1）xesinydy ye sinxdx xe sinydy yesinxdx；

L

L

（2）xe

L

siny

5

dy ye sinydx 2.

2

证 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1）xesinydy ye sinxdx

L

siny sinx (xe) ( ye) dxdy x y D

(esiny e sinx)dxdy

D

sinysinx

xedy yedx L

(xe siny) ( yesinx) dxdy

x y D

(e siny esinx)dxdy

D

而D关于x和y是对称的，即知

siny sinx sinysinx(e e)dxdy (e e)dxdy D

D

因此

siny sinx sinysinx

xedy yedx xedy yedx L

L

（2）因

t2t4

e e 2(1 ) 2(1 t2)

2!4!

t

t

故

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