全国大学生数学竞赛大纲(19)

全国大学生数学竞赛大纲

x2y2z21

G x,y,z 4 4 4, 则

d

abc现在求

x2y2z2G x,y, z444在,

abc

条件

x2y2z2

221 ，2abc

z2 x2 y2下的条件极值，

令

x2y2z2 x2y2z2

H x,y,z 4 4 4 1 2 2 2 1 2 x2 y2 z2 abcbc a

则由拉格朗日乘数法得：

2x '2x

Hx a4 1a2 2 2x 0

H' 2y 2y 2 y 0

122

yb4b 2z '2z

Hz 4 12 2 2z 0，

cc

x2y2z2

2 2 2 1 0

bc a

x2 y2 z2 0

22

x 0 2ac2 x z 2222解得 或， a c bc22

y z 2

b c2 y 0

b4 c4a4 c4

对应此时的G x,y,z 或G x,y,z

22222222bcb caca

c此时的d1

d2 d2

又因为a b c 0，则d1

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