全国大学生数学竞赛大纲(16)

全国大学生数学竞赛大纲

两式相减，得：xn-ln2 o（1）, limn

xn ln2. 方法二（用定积分的定义）

lim11

1

1n xn limn n lim(n

n 1 2n

) lim11n n(

1 n)

n

1 n

1

1

x

dx ln2 01 x ln2t

（3）已知

1 e d2 y y t arctane

t，求dx2。 et

解：dxdt 2e2t1 1 e2t,dydt 1 et1 e2t dydx 2te2t et 12e2t 2e2t

1 e2t

d2yd dy 1et 21 e2t

1 e2t et

2

dx2 dt dx dx 2e2t2e

2t

4e

4t

dt

二．（本题10分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解。解：设P 2x

y 4,Q x y 1，则Pdx Qdy 0

P y Q

x

1, Pdx Qdy 0是一个全微分方程，dz Pdx Qdy

方法一：由 z

x

P 2x y 4得 z 2x y 4 dx x2 xy 4x C y

由 z

y

x C' y Q x y 1得C' y y 1, C y

12

2

y y c 设

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