全国大学生数学竞赛大纲(3)

全国大学生数学竞赛大纲

3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. 4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.

5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单

幂级数的和函数的求法. 7. 初等函数的幂级数展开式.

8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，

l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数

2009年 第一届全国大学生高等数学竞赛预赛试题及答案

（非数学类）

一、填空题（每小题5分，共20分）

y

(x y)ln(1 )

xdy ____________，其中区域D由直线x y 1与两1．计算 D

x y

坐标轴所围成三角形区域.

解 令x y u,x v，则x v,y u v，dxdy det 1

0

1 dudv dudv， 1

y

(x y)ln(1 )

ulnu ulnvxdy

D x y D uudv

uulnuuu

dv lnvdv)du 000

u u

2

1ulnuu(ulnu u) du0

u u

(

1

1

u2

du （*） u

22242

令t u，则u 1 t，du 2tdt，u 1 2t t，u(1 u) t(1 t)(1 t)，

(*) 2 (1 2t2 t4)dt

1

2

10

1 16 2

(1 2t2 t4)dt 2 t t3 t5

5 015 3

1

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x) 3x2 解 令A

2

20

f(x)dx 2, 则f(x) ____________.

20

f(x)dx，则f(x) 3x2 A 2，

A (3x2 A 2)dx 8 2(A 2) 4 2A,

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