全国大学生数学竞赛大纲(12)

全国大学生数学竞赛大纲

（1）当 1时，级数

an

收敛；

n 1Sn

an

发散。 Sn 1n

（2）当 1且sn (n )时，级数解：

（1）an>0, sn单调递增 当

an收敛时，

n 1

anananan

，而收敛，所以收敛；

sn s1 s1 sn

当

a

n 1

n

发散时，

limsn

n

sndxsndxansn sn 1

ssn 1sn 1xsnsnn

sndxsndxana1a1

所以， ssn 11s1n 2xs1xn 1sn

而

sn

s1

sn1 s11 a1s11 dxa1

lim k，收敛于k。 n xs11 s1 1an

收敛。

n 1sn

limsn

n

所以，

（2）

所以

a

n 1

n

发散，所以存在k1，使得

k1

a

n 2

k1

n

a1

ank1

anan 1

于是， 2

sk122sn2sn

k1

依此类推，可得存在1 k1 k2 ... 使得

an1

成立

2kisn

ki 1

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