全国大学生数学竞赛大纲(11)

全国大学生数学竞赛大纲

1 1 sxn

In e sxxndx ( ) xnde sx ( )[xne sx| edx] 0 000ss（3）

nnn(n 1)n!n! sxn 1exdx I I I n

1n 20

s 0ss2snsn 1

（4）略（不难，难得写）

（5二、（15分）设函数f(x)在( , )上具有二阶导数，并且

f (x) 0,limf (x) 0,limf (x) 0,且存在一点x0，使得f(x0) 0。

x

x

证明：方程f(x) 0在( , )恰有两个实根。

解：（简要过程）

二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开

f''( )2

f(x) f(0) f(0)x x

2

'

因为二阶倒数大于0，所以

x

limf(x) ，limf(x)

x

证明完成。

x 2t t2

三、（15分）设函数y f(x)由参数方程 (t 1)所确定，其中 (t)具有二阶

y (t)

导数，曲线y (t)与y

t2

1

e udu

2

3

在t 1出相切，求函数 (t)。 2e

d2y

解：（这儿少了一个条件2

dx

）由y (t)与y

t2

1

e udu

2

3

在t 1出相切得 2e

(1)

32'

， (1) 2ee

dydy/dt '(t) dxdx/dt2 2t

d2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt ''(t)(2 2t) 2 '(t)

=。。。 dx2dxdx/dt(2 2t)3

上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设an 0,Sn

a,证明：

kk 1

n

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库全国大学生数学竞赛大纲(11)在线全文阅读。