全国大学生数学竞赛大纲(7)

全国大学生数学竞赛大纲

esinx e sinx 2 sin2x 2

由

1 cos2x5 cos2x

22

siny sinysiny sinx sinysinx

xedy yedx (e e)dxdy (e e)dxdy L

D

D

知

siny sinyxedy yedx L

11siny sinx sinysinx

(e e)dxdy (e e)dxdy 2D2D

11siny siny sinxsinx sinxsinx

(e e)dxdy (e e)dxdy (e e)dxdy 2D2D

D

sinx0

(e

即

e

sinx

)dx

5 cos2x5

dx 2 22

52siny sinyxedy yedx 2L

五、（10分）已知y1 xex e2x，y2 xex e x，y3 xex e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解 设y1 xex e2x，y2 xex e x，y3 xex e2x e x是二阶常系数线性非齐次微分方程

y by cy f(x)

的三个解，则y2 y1 e x e2x和y3 y1 e x都是二阶常系数线性齐次微分方程

y by cy 0

的解，因此y by cy 0的特征多项式是( 2)( 1) 0，而y by cy 0的特征多项式是

2 b c 0

y1 2y1 f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y y 2y 0，由y1

ex xex 2e2x，y1 2ex xex 4e2x y1

y1 2y1 xe 2e 4e知，f(x) y1

x

x

2x

(xex ex 2e2x) 2(xex e2x)

(1 2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

y y 2y ex 2xex

2

六、（10分）设抛物线y ax bx 2lnc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛

物线与x轴及直线x 1所围图形的面积为的旋转体的体积最小.

1

.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成3

2

解 因抛物线y ax bx 2lnc过原点，故c 1，于是

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