全国大学生数学竞赛大纲(5)

全国大学生数学竞赛大纲

f (y) (1 f (y))2

y (1 f (y)) 22

x(1 f (y))

因此

f (y) [1 f (y)]2

y 23

x[1 f(y)]

ex e2x enxx

二、（5分）求极限lim()，其中n是给定的正整数.

x 0n

解法1 因

e

ex e2x enxxex e2x enx nx

lim() lim(1 ) x 0x 0nn

故

ee

ex e2x enx neA lim

x 0nx

x2xnx

e e e n elim

x 0nx

ex 2e2x nenx1 2 nn 1

elim e e

x 0nn2

因此

ex e2x enxx

lim() eA ex 0n

解法2 因

e

e

n 1

e2

ex e2x enxxln(ex e2x enx) lnn

lim) elim

x 0x 0nx

ex 2e2x nenx1 2 nn 1

elimx e e

x 0e e2x enxn2

故

ex e2x enxx

lim() eA ex 0n

e

n 1

e2

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)

10

f(xt)dt，且lim

x 0

f(x)

A，A为常数，求x

g (x)并讨论g (x)在x 0处的连续性.

解 由lim

x 0

f(x)f(x)

A和函数f(x)连续知，f(0) limf(x) limxlim 0

x 0x 0x 0xx

10

因g(x)

f(xt)dt，故g(0) f(0)dt f(0) 0，

1

因此，当x 0时，g(x)

1x

f(u)du，故 0x

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