全国大学生数学竞赛大纲(10)

全国大学生数学竞赛大纲

n 0

f(n) xn，

n 0

2

11

lim lim 1 x 11 xx 1 1

ln

0

f(t)dt xdt e

t2

t2ln

1

x

dt

1ln

1 x

0

e tdt

2

112lnx

，

所以，当x 1时, 与

xn等价的无穷大量是

n 0

2

1

。

21 x

第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案

（非数学类）

(150分钟)

一、（25分，每小题5分） （1）设xn (1 a)(1 a2)（2）求lime x 1

x

xn. (1 a),其中|a| 1,求lim

n

2n

1 。 x

x2

（3）设s 0，求I

e sxxndx(n 1,2,)。

2g 2g 1

（4）设函数f(t

)有二阶连续导数，r g(x,y) f ，求2 2。

x y r

（5）求直线l1:

x y 0x 2y 1z 3

与直线l2:的距离。 4 2 1 z 0

解：（1）xn (1 a)(1 a2)=(1 a2)(1 a2)

n

(1 a2)=xn (1 a)(1 a)(1 a2)

=(1 a2)/(1 a)

n 1

n

(1 a2)/(1 a)

n

(1 a2)/(1 a)=

n 1

limxn lim(1 a2)/(1 a) 1/(1 a)

n

n

11

lne x(1 )xx2ln(1 )1 x xx

lime(2) lime 1 lime

x x x

x

2

x2

x

令x=1/t,则

(ln(1 t) t)

原式=lime

t 0

t

lime

t 0

1/(1 t) 1

2t

lime

t 0

12(1 t)

e

12

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