全国大学生数学竞赛大纲(2)

全国大学生数学竞赛大纲

y f(x,y ), y f(y,y ).

4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. 6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、

余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何

1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和

点到直线的距离.

6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次

曲面方程及其图形.

7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学

1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.

2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. 3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4. 多元复合函数、隐函数的求导法. 5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.

6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. 7. 二元函数的二阶泰勒公式.

8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简

单应用.

七、多元函数积分学

1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积

分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函

数.

4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.

6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面

积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数

1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件. 2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨

(Leibniz)判别法.

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