全国大学生数学竞赛大纲(17)

全国大学生数学竞赛大纲

12

z x xy 4x y y c

2

2

方法二：

z dz Pdx Qdy

x,y

0

2x y dx x y dy4 ,

P Q

, 该曲线积分与路径无关 y x

12

z 2x 4 dx x y 1 dy x 4x xy y y

002

x

y

2

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

f 0 ,f' 0 ,f" 0 均不为

0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得

h证明：由极限的存在性：lim k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 0

h 0

lim

k1f h k2f 2h k3f 3h f 0

2

0。

h 0

即

k1 k2 k3 1 f 0 0，又f 0 0， k1 k2 k3 1①

k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 h2

k1f' h 2k2f' 2h 3k3f' 3h

由洛比达法则得

lim

h 0

2h'''kfh 2kf2h 3kf由极限的存在性得lim 3h 23 1 0

h 0

h 0

lim 0

即

k1 2k2 3k3 f' 0 0，又f' 0 0， k1 2k2 3k3 0②

k1f' h 2k2f' 2h 3k3f' 3h 2h

k1f" h 4k2f" 2h 9k3f" 3h

f" 0 0

0

再次使用洛比达法则得

lim

h 0

2

k1 4k2 9k3 f" 0 0

h 0

lim

k1 4k2 9k3 0③

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