离散数学(20)

离散数学

②∪{{a}，{a，b}，{{a，b}}}＝{a，b，{a，b}}；

③∩{{a}，{a，b}，{{a，b}}}＝ ； 

④∩{{1，2，3}，{2，8}，{4，8}}＝{8}。 

定理1.1.7

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)设A为任意集合，B为任意集合类，则有：若B≠ ，则A∪(∪B)＝∪{A∪B B∈B}；若B≠ ，则A∩(∩B)＝∩{A∩B B∈B}；若B≠ ，则A∪(∩B)＝∩{A∪B B∈B}若B≠ ，则A∩(∪B)＝∪{A∩B B∈B}；若B≠ ，则 (∩B)＝∪{ B B∈B}；若B≠ ，则 (∪B)＝∩{ B B∈B}。

其中(3)和(4)称为广义分配律，而(5)和(6)称为广义德．摩尔根律。

证明只证明(4)和(5)，其余的留作练习。

(4)任取x∈A∩(∪B)，则x∈A且x∈∪B。由x∈∪B知道，有B∈B使x∈B。所以x∈A∩B，即x∈∪{A∩B B∈B}。这表明A∩(∪B) ∪{A∩B B∈B}。

另一方面，任取x∈∪{A∩B丨B∈B}，则有B∈B使x∈A∩B，即x∈A且x∈B。因此x∈A且x∈∪B，即x∈A∩(∪B)。这表明∪{A∩B B∈B} A∩(∪B)。

总结以上结果，就得到

A∩(∪B)＝∪{A∩B B∈B}

(5)任取x∈ (∩B)，则x ∩B。因此，必有B∈B使x B，即x∈ B。从而得，x∈∪{ B B∈B}。这表明 (∩B) ∪{ B B∈B}。

另一方面，任取x∈∪{ B B∈B}，则有B∈B使x∈ B，即x B。所以x B，即x∈ (∩B)。这表明∪{ B B∈B} (∩B)。 

总结以上结果，就得到 

(∩B)＝∪{ B B∈B}

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