离散数学(10)

离散数学

(2)AA； 

(3)若AB且BC，则AC； 

(4)若AB且BC，则AC。 

证明只证①，其余留作练习。 反证法：假定A不成立，则必存在某个a∈使a∈A，但a∈与为空集(即不含有任何元素)矛盾。

定理1.1.2空集是唯一的。

证明设1和2为任意两个空集。根据定理1.1.1得知，12且21。所以1＝2。

定义了集合，定义了集合的元素、空集、子集，还定义集合与它所包含的元素，集合与集合之间的一般联系。从这里看来初步确定集合是一个独立的数学对象而存在，是离散数学的最基本的对象。可根据定义1.1.2来讨论它的可区分性。

集合概念的得到并没有太多的限制，因此它具有一般性、自然性和通用性。但是它缺乏确定性，只知道集合，但不知道是什么集合？因此，我们还需讨论集合的表示方法，表示什么样的元素以什么样的方式汇集在一起？告知人们和计算机。

常用的方法有以下四种：

(1)列举法 依照任意一种次序，不重复地列举出集合的全都元素，并用一对花括号括起来。例如10以内的素数的集合＝{2，3，5，7}。列举法只适用于元素不太多的有限集。列举法是通过关于集合所包含的元素的表示来表示集合。

(2)部分列举法 依照任一种次序，不重复地列举出集合的一部分元素。但是，这部分元素要能充分体现该集合在上述次序下的构造规律，从而能够很容易地获得集合中的任何一个未列举的元素。未列举出的元素用“...”代替。然后，用一对花括号把已列举出的元素和“...”一起括起来。部分列举法是通过关于集合所包含的元素的构造来表示集合例如

N＝{0，1，2，...}

Eu＝{0，2，4，...}

Od＝{1，3，5，...}

部分列举法仅适用于元素的构造规律比较明显的简单的集合。它们可以是无穷的集合，但所表示的这些无穷集合的每一个元素都可以用简单的方式构造，简单到无需写出规律人们都能清楚。也可以是所含有的元素个数较多的有限集。 

(3)命题法

用这种方法定义一个集合A时，要给出一个与x有关的命题P(x)，使得x∈A当且仅当P(x)为真，并称A为使P(x)为真的x的集合，记为

A＝{x P(x)}或A＝{x；P(x)}。

通俗的讲，这种集合的定义方法是一个性质决定一个集合，这个性质一般用谓词来表示。命题法是通过陈述集合的元素所要满足的性质和关系来表示集合。例如 

Nm＝{n n∈N且0≤n＜m}，

{1，2}＝{x x∈R且x2 3x 2 0}。

用这个方法来表示一个集合实际上是定义了一个具体的集合，用来定义集合的命题(准确地讲是谓词)可能不止一个而是多个，而且在这些谓词之间有一定的关系，例如这些谓词同时成立来确定一个集合；也可能这些谓词中只有其中的一个成立来确定一个集等等。在后面会看到，离散数学中的任何一个对象都可以看成一个或一组集合，因此命题法就成为本课程用来建立概念的最基本方法之一，公理方法也是在命题法上发展起来的。希望同学

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