离散数学(16)

离散数学

(2)集合M，N的并集P，只包含属于集合M或属于集合N的元素； 

(3)集合M，N的交集，只包含属于集合M而同时属于集合N的元素；

(4)对于任何集合M，可以构造由集合M的子集作为元素的集合，称为M的幂集；

(5)设M，N两个集合，可以构成所有定义在M，而接受N中元素的函数的集合。上述构造方法适用于任何集合。康托尔在无穷集合的概念指导下，建立了集合论的一些概念。例如，关于极限点的概念：一个点p是一个点集S的极限点，如果包含p点的每一个区间都包含S的无穷多个点；点集的导集是由原点集全部极限点构成的点集；导集的导集称为第二导集等等；如果一个给定的集合的第n阶导集是一个有限点集，那么该给定的集合是属于第n类或第n阶的；一个集合称为是闭的，假如它包含它的全部极限点；称为是开的，假如它的每一个点都是内点，即每一点可以包含在一个区间内，这个区间属于这个集合。一个集合称为完全的，假如它是闭的，并且它的每一个点都是极限点。这些概念在分析中起着举足轻重的作用。同样利用现实无穷的观点建立起许多无穷的代数结构。

1.1.3集合的运算

既然集合作为一个实在的数学对象而存在，那么可以在其上定义它们的运算。通常在考虑某类问题时，往往有一个固定的集合，它含有所涉及的全部元素。我们称这个固定的集合为全集或空间，通常用U来表示。在这里要提醒的是：只能局部地提出全集的概念，只是在考虑某类问题时是对于这类问题的全集的概念。如果无限制地讨论全集，将会引起矛盾。这时，其余有关这类问题的集合都是U的子集。有时，并不具体指明全集是什么，但总是假定所涉及的每个集合都是全集的子集。

用命题法定义两个集合(包括无穷集合)的并集、交集、差集、对称差、全集、补集等，通过用命题法表示其运算结果集合来定义作用在集合上的运算。

定义1.1.4设A，B为任意两个集合。令 

A∪B＝{x x∈A或x∈B} 

A∩B＝{x x∈A和x∈B} 

A－B＝{x x∈A且xB} 

AB＝(A∪B)－(A∩B) 

分别称A∪B，A∩B，A－B和AB为A与B的并、交、差和对称差。还称差U－A为A对于某全集U的补集，并用A来表示。如果A∩B＝，我们称A和B不相交。

集合的运算可以用文氏图(图1.1)直观地表示。图中的阴影部分表示运算的结果。例1.1.6若取U＝{0，1，2，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，4}时，则有

A∪B＝{1，2，4，5}， 

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