离散数学(14)

离散数学

计算机科学家和哲学家，大都承认无穷集合作为客体(独立对象)现实存在，虽然承认这一点产生了不少矛盾，例如，计算机科学中的一个基本问题——从属性的判定问题(判定某指定的元素a是属于某无穷集合A或不属于某无穷集合A)；全集(包括所有集合的集合)的存在性问题等；但确实地承认这一点使数学的发展向前推进一大步。

早在古希腊时期，著名的哲学家亚里士多得(Aristotle)考虑过无穷集合，例如整数集合，但他所考虑的无穷集合是潜在地存在，不承认无穷集合可以作为固定的整体存在。意大利科学家伽里略(Galileo)与现实的无穷集合作过斗争，他虽然注意到两个不等长的线段中的点可以构成一一对应，从而可以想象它们有同样多个点；他也注意到正整数可以同它的平方构成一一对应，从而导致无穷集合乃至无穷大有不同的“量级”。这些与经典的欧基里得的思维想矛盾的。欧氏几何中有一个真理是严格的部分必然小于整体，正整数的平方显然是正整数的严格部分，但它们一样多，伽里略认为这是不可能的,出现了悖论：所有的无穷大和无穷集合都是一样的，不能欧几里得几何的思维方式去比较大小。高斯(Gauss)反对把一个无穷量作为一个实体；柯西(Cauchy)同前人一样，不承认无穷集合的存在，因为部分能同它的整体构成一一对应这件事，同传统的逻辑是不相容的，是矛盾的。因此，他们不承认无穷集合的现实存在。

没有承认无穷集合的现实存在，就没有承认集合作为一个数学的客观对象而存在，就会在考察集合时，注重集合的元素和元素对于集合的从属方式，这样出现类似上面的伽里略悖论。到了十九世纪中叶，不承认无穷集合的现实存在性使得许多问题得不到解释。首先，我们在上一小节有关集合的直观描述只能适用于有限的集合(包括空集)。再则，一个集合可以作为另外的集合的一个元素这一点也是站不住脚的，因为作为元素的东西并不是现实存在的东西。虽然，在数学中有许多概念是现实不存在的，例如复数，但它是作为派生概念而出现的，是为了处理现实的概念而借用的概念。正如我们在上面所讲的，集合是作为原生概念而被应用的，而且从集合论出发导出了全部的数学，其中也包括计算机科学的理论。因此，承认无穷集合的现实存在性是十分必要的。在考虑无穷集合的现实存在性的这个问题上，康托尔(Cotor)作了突破性的工作。康托尔坚持现实无穷的观点。所谓现实无穷性的观点是：无穷集合是作为一个实在的数学对象而存在，一个集合(有限集合和任意无穷集合)的给出实际上就给出了包含在集合中的所有元素，因此，有关集合的概念并不是一定要通过它包含的元素的概念来解释。康托尔给出集合的概念是毫无限制的(就如前一小节给出的一样)。集合(包括无穷集合)既然是作为实在的数学对象，那么它应同其它的数学对象一样有自己的数学性质，有自己的运算规律。无穷集合是一个现实存在的对象，它们不应该都是一样的，它们一定有一个特性将它们分开，也就是说它仍然要满足最起码的可区分性（排中律）。用什么特性来比较无穷集合这个不同的对象呢?康托尔认为用一一对应关系，这不仅能用来区分无穷集合，同时还能适用于有限的集合。这样的一一对应关系在讨论代数系统关系和它们之间的变换时已发挥作用。另外一些人对于无穷集合是坚持潜在无穷的观点，所谓潜在无穷认为无穷集合是存在的，但它们不能是作为一个固定的现实对象存在。无穷集合在每一个固定的时刻是一个有限的集合，无穷是寓于动态之中，一个无穷集合是一个构造的过程，关于无穷集合的比较都只是在动态过程中的有限集合的比较，关于无穷集合的任何考察，只是在一个动态过程中关于有限集合的考察。

既然无穷集合是存在的，从伽俐略悖论中得知，无穷集合是不能像用有限集合的方法来比较两个无穷集合的元素。那么用什么方法来比较两个无穷集合呢？我们在前面对于有限集合时讲过，两个集合大小相等并不需要其中包含的元素都相同，只要元素数相同就行了。如果能在无穷集合之间建立某些对应关系，使得一个无穷集合的元素都与另一个无穷集合的元素对应，而且任何元素都没有重复，这样的对应称为一一对应。康托尔提出的这样比较无穷集合的方法被人们广泛应用且有效。

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