离散数学
在前面所讲的集合的表示方法，部分列举法和命题法所坚持现实无穷的观点，而归纳定义法看来好象是所坚持的是潜在无穷的观点，事实上是在现实无穷观点下的一个构造过程。康托尔称集合为一些确定的，不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，可识别（可区分）的，并能判定一个给定的东西是否属于这个总体。这同在前面的集合的描述是相同的。集合有有限的集合和无穷集合，无穷集合是现实存在的。康托尔认为，那些认为只有潜在无穷集合的人是错误的，并驳斥了数学家们和哲学家们反对现实无穷集合早期的观点。集合作为一个现实的数学对象而存在。
为此，第一个需要回答的问题是相等和等价的的意义。什么样的两个集合是相等的?什么样的两个集合是等价的？两个集合M，N称为相等的，用M＝N来表示，如果它们有同样的元素，换言之，若属于M的任一元素a∈M，当且仅当a也属于N。康托尔坚持等价的概念，两个集合M，N称为等价的，用M～N来表示，如果在M和N的元素之间存在着一一对应关系。对于等价关系满足如下性质：M～N；若M～N，则N～M；若M～N，且N～P，则M～P。这样无穷集合的定义应是：任意能与自己的真子集成一一对应关系的非空集合称为无穷集合。第二个需要回答的问题是集合的“大小”问题。有限集合有着十分明显的定义。如果一个自然数，用一个包含的元素数正好为这个自然数的有限集来表示，那么集合是有限的，当且仅当它等价于某个自然数。在§1.3中我们会给出自然数的大小明确的概念，将任何有限集与一个自然数对应，对应于大的自然数的有限集比对应于小的自然数的有限集的规模要大。而无穷集合并不能表示一个自然数，因此不能用自然数了表示其大小。康托尔认为，如果一个集合能够和它的真子集构成一一对应关系，那么它就是无穷集合，即若N是M的严格部分，且N～M，则M无穷的。在这里牵涉到所谓一个集合的部分。一般称此集合的子集。集合M1称为集合M的子集，用M1M来表示，如果M1的每一个元素是M的元素；M1是M的真子集用M1M来表示，若每一个M1中的元素是M的元素，而且在M中至少有一元素不属于M1。关于无穷集合的“大小”比较的问题，康托尔同波尔查诺一样，认为一一对应的原则。而且引进关于无穷的势和基数的概念。等价的集合具有相同的基数。显然无穷集合中的基数在集合大小的衡量上的作用与在有限集合中的自然数在集合大小的衡量上的是相同的，因此，不论是有限集还是无穷集，都可以用基数来衡量集合的大小。两个有限集合具有不同的基数是容易理解的，两个无穷集合具有不同的基数如何来理解呢?如果在M，N两个集合中，N能和M中的一个真子集构成一一对应关系，而M不能同N中的任何一个子集构成一一对应，这就可以说M的基数大于N的基数。在诸多无穷集合中选出两个无穷集合，一个是自然数集和一个是实数集，自然数集有基数为 0，实数集的基数为c，后面我们会证明 0 c，所有与自然数等价的集合都有基数为 0，所有与实数集等价的集合都有基数为c，在 0和c之间还有没有其它基数呢？这是有名的连续统假设问题。基数的概念在别的著作中将会进一步论述，在这里只提出用基数来衡量集合的“大小”。
许多数学对象都是利用作用于现有对象的运算来产生新的对象，如何从已知的客观对象——集合出发构造新的集合呢?或者说集合中的运算，在这里介绍五种构造方法，严格的定义在下一小节给出：
(1)不包含任何元素的集合称为空集；任何一个非空集合，都有一个构造的方法去确定它的子集；
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