离散数学(12)

离散数学

穷对象也是相同的，这就是极小化；(3)将我们的思维论域从有限过渡到无穷。

用归纳定义法定义自然数集合N，乃是数学归纳法的理论基础，在后面还要详细论述。由于步骤③在每次使用时都一样，毫无变化，所以常常省略不写，这并不是说没有这一步。

归纳法是通过产生集合的元素的操作来表示集合，基本项表明了所生成的元素的原型；归纳项提出了所有可能的生成方法和关于生成操作的限制；极小化表明生成的范围。

命题法和归纳法表示集合是建立离散数学以及其它数学理论的基础，也是建立计算机科学理论的基础。在数学中有两个最基本的问题：存在性问题和唯一性问题，命题法和归纳法都表现出解决这学基本问题的基本思维方法。在命题法中的存在性问题表现为存在满足一个或一组命题(谓词)的域(集合)，命题法中的唯一性问题表现为用同一个或同一组命题(谓词)所确定的域(集合)满足一定的不变性(相同、相似、同构、同态等)。在归纳法中的存在性表现为存在某集合，使得它有一个子集是S，而且集合中的元素或属于S，或从S中的元素出发通过有限次地使用规则而得到。在归纳法中的唯一性问题表现在极小化。在计算机科学中也有相对应的两个最基本的问题：可构造性和构造的唯一性或有限(有效)问题。同样在命题法和归纳法中也充分地表现出解这些基本问题的思维方法。

基于命题法和归纳法的思维是代数结构的基本思维，是本课程的核心，在整个课程中贯穿着这种思维方法，希望读者注意。

集合的表示使用一种形式解释的方法将集合这个概念表示出来，只有用这种形式解释的方法才能使得人们有一个共同的客观标准来理解这个概念，而且有关属于、包含、相等这些概念也可用列举法、部分列举法、命题法、归纳法给予解释。

例1.1.3设k∈I＋，若用Ak表示能够被k整除的自然数的集合，则Ak可以用归纳法定义如下： 

①0∈Ak；

②若n∈Ak，则(n＋k)∈Ak。 

例1.1.4设Σ=｛a1，a2，…，ak｝为任意一个字符表，即由一个由符号组成的非空有限集。我们称由Σ中的有限多个字符并置在一起所组成的字符串为Σ上的字aiaj，不含任何符号的空符号串称为空字，用Λ来表示。若用Σ 表示Σ上的字的集合，则Σ 可以用归纳定义法定义如下： 

①Λ∈Σ ；

②若 ∈Σ 且a∈Σ，则a ∈Σ 。 

若用Σ＋表示Σ 上所有非空的字的集合，则Σ＋可以用归纳定义法定义如下：

①Σ ； 

②若 ，β∈ ，则 β∈ 。 

不难看出，Σ ＝ ∪{Λ}。 

 前面所建立的概念到目前为止已比较清楚了，而且学会了用命题法和归纳法来表示集

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