离散数学(13)

离散数学

合，可以用这些方法来定义集合，这样今后的定义不再用陈述的方法。

下面的定义是用命题法定义幂集，其中的命题是满足包含关系。

定义1.1.3设A为任意集合，令 (A) {XX A}。称 (A)为A的幂集。

例1.1.5不难验证有：

① ( )＝{}；

② (a)＝{，{a}}；

③ ({a，b})＝{，{a}，{b}，{a，b}}。 

定理1.1.3设A，B任意两个集合，则有 

(1)∈ (A)； 

(2)A∈ (A)；

(3)若AB，则 (A) (B)； 

(4)若AB，则 (A) (B)。 

证明①和②可由定理1.1.1证出。

(3)若x∈ (A)，则x A。因为AB，所以x B。因此，x∈ (B)。从而知道 (A)

(B)成立。 

(4)因为AB，所以AB且A≠B。从而知道B∈ (B)且B∈ (A)。因此，根据刚证明的(3)即知， (A) (B)。 

定理1.1.4若A为有限集，则 

n( (A)) 2n(A)。

证明设n(A)＝m。因为对每个不大于m的自然数i，A的恰有i个元素的子集的个数，

m 为从m个不同的元素中每次取出i个元素的不同组合数，即为 i 。所以A的不同子集之

总数n( (A))为 

m m m n( (A))＝ ＋ ＋...＋ ＝(1 1)m 2m 2n(A)。

0 1 m

最后，我们指出，前面给予集合的直观的描述不能当作集合的严格定义，后面能避免逻辑上的矛盾。

1.1.2无穷集合的概念

本小节只是对上一小节的补充，其目的是扩充大家的思维范畴。有如下的问题需要补充：⑴关于集合的研究我们怎样从习惯的关于其包含的元素的研究过渡到对集合本身的研究？

⑵如果将集合作为研究实体将如何进行区别不同的集合？

⑶如何从集合出发去构造新的集合？

⑷怎样根据现实无穷的观点去解释某些概念？

前面直观地描述了集合的概念，确定了集合作为客观存在的数学实体的地位。如果对于有限的集合，这个直观的概念是容易理解的。但是对于无穷集合，就不是那么容易理解了。无穷集合是否是作为一个客体现实地存在的问题历史上有过不同的看法。今天的数学家、

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