离散数学(17)

离散数学

A∩B＝{2}， 

A－B＝{1，5}，

图1.1集合运算的文氏图

AB＝{1，4，5}， 

A＝{0，3，4}， 

B＝{0，1，3、5}。 

定理1.1.5设A，B和C为任意三个集合，则有 

(1)AA∪B且BA∪B； 

(2)A∩BA且A∩BB；

(3)A－BA； 

(4)A－B＝A∩B； 

(5)若AB，则BA； 

(6)若AC且BC，则A∪BC； 

(7)若AB且AC，则AB∩C。

这个定理的证明很简单，留给读者作练习。    

定理1.1.6设A，B为任意两个集合，则以下条件互相等价： 

(1)AB； 

(2)A∪B＝B； 

(3)A＝A∩B。 

证明(1) (2)任取x∈A∪B，则x∈A或x∈B。但因为AB，所以总有x∈B。这表明A∪BB。再根据定理1.1.５的①BA∪B即得到A∪B＝B。 

(2)(3)任意取x∈A，则x∈A∪B。但因A∪B＝B，所以x∈B。因此x∈A∩B。这表明AA∩B。再根据定理1.1.5的(2)A∩BA即得到A＝A∩B。 

(3)(1)这可由定理1.1.5的(2)直接推出。

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