高职班“微分中值定理”教学设计方案

墨匪鐾 .高职班“微分中值定理"教学设计方案许智勇(湖南铁路科技职业技术学院，湖南株洲摘要：根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，在“微分中值定理”一课中运用启发式教学法 .利用图形直观降低理论难度，通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练 .突出重点，重视知识的运用. 关键词：微分中值定理教学设计启发式教学讲练结合一

4 1 2 0 0 0 )

) - f ( a )存在一点∈∈( a ' b ),使得f, (∈ ):— f ( b~

_ D- . - a

,

或f ( b ) - f ( a ) (∈ ) ( b _ a )

推论：如果函数f ( x )在区间( a, b )内满足 r ( X );0,则在( a, b )内f ( x )一c ( c为常数 ) . 推论：如果对 ( a, b )内任意 X,均有f, ( x ): g ( X ),则在( a, b ) 内f ( x )与g ( x )之间相差一个常数，即f ( x )= g ( x )+ c ( c为常数 ) .

课程设置分析 (一)课程的地位、

《应用数学》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课 .是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础.主要讲授极限与连续。导数、微分及其应用 .积分及其应用等一元函数微积分的内容 .要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识。提高学生分析和解决实际问题的能力 .(二)本次课的地住

[课堂练习]验证拉格朗日中值定理对函数 v= 4 x 一 5 x‘+ x一 2 在[ O, 1]上的正确性 . [新课讲授]§ 3 . 2函数的单调性函数的极值：极大值与极小值的统称 .

极值点：使函数f ( x )取得极值的点x芥为函数f ( x )的极值点.注意：函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值小：函数的极值概念是局部性的，它们与最大值、最小值不同. 定理 (极值点的必要条件 ):设函数f ( x )在x 处可导

,且在点处取得极值，那么f, ( x )= O . 可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点 .

本课教学内容是微分中值定理和函数的单调性，是导数应用的基本内容 .微分中值定理是获得可导函数单调性判定方法的理论基础.单调函数在《应用数学》课程中占有重要的 地位，函数单调性的讨论是解决诸如“用料最省”“产值最高” “质量最好”“耗时最少”等最值问题的重要方法 . (三)教学设计理念与思路， 学院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职数学教育教学中，把培养数学素质作为教学过程的主线。加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展.根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，课运用启发式教学，精讲多练，突出重点， 通过图形直观降低理论难度重视知识在实际问题中的应用 . 二、教学设计分析 (一)教学目标 1 .掌握函数极值的概念 . 2 .了解罗尔定理、拉格朗日中值定理 .能运用 . 3 .掌握函数单调性的判定方法，能熟练运用. (二)教学重点和难点重点：函数单调性的判定 . 难点：拉格朗 1 3中值定理的理解与运用 . (三)教学方法根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用启发式教学，利用图形直观直接得出微分中值定理 (拉格朗 1 3中值定理 ),通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习。精讲多练 .突出重点，重视知识的运用 . (四)教学设计[板书设计]整个黑板分左中右三大栏，左栏用来书写新课知识要点 .如拉格朗日中值定理及其两个推论、函数的极值及极值点概念、极值点的必要条件、单调性判断定理等；中栏右栏用来书写即写即擦的内容，如例题示范和课堂练习讲评等 . 以下是教学过程 . [新课引入]通过前面的学习，我们已经认识了导数，它描述函数随自变量而变化的瞬时变化率 .我们现在已经能够熟练地

计算函数的导数了.本章我们开始学习导数的应用 . [新课讲授]§ 3 . 1微分中值定理定理(拉格朗日中值定理 ):如果函数y q( - x )满足下列两个条

如： f ( x ):】【 3在x: o处 .对一个连续函数，极值点还可能是尖点 (使导数不存在的点) .如： f ( x )= l x l在x= O处. 定理(单调性判断定理 ):设f ix )在闭区间[ a, b]上连续，在开区间( a . b )内可导，那么‘

①若在 ( a, b )内f, ( x )> O,则函数f ( x )在[ a, b]上单调增加； ②若在 ( a, b )内f( x )< 0,则函数f ( x )在[ a, b]上单凋减少.例：求出函数 f ( x )= x ' - l n x‘的单调区间. 答案： f ( x )的定义域是 (一。。, 0 ) U( 0,+。。 ),单调增区间有 (一 1, 0 )和( 1,+∞),单调减区间有 (一。。,一 1 )和( 0, 1 ) . 例：试证当x≠l￣ -, J,> e x 思路： -￣ - f ( x )= e 一 e x,￣i E f ( x )在(一， 1]上严格单调减少， 在[ 1,+∞)上严格单调增加.故对任意x≠1,有f ( x )> f ( 1 ): O, f( x )> O。 e￣ - e x> O,即e > e x . r课堂练习 1

1 .证明当x> O时， l n ( 1+ x ) ( x, 提示：令f ( x ) _ x— I n ( 1+ x ),则f ( x )在[ 0,+ )上单调增加，所以，当x> O时，有f ( x )> f ( 0 )= 0, I 1 1￣ x - l n ( 1+ x )> O,即这时I n ( 1+ x )< x .4

2 .求函数 v:三一 - x 的单调性与极值 .。 4

答案：函数的定义域为 (一，+ ) .减区间为(一∞, 3 ),增区间为( 3,+ a。 ),极小值y ( 3 )一 .4

[课堂练习及讲评] (略) 『本课小结] 1 .中值定理 . 2 .函数的极值和极值点概念 . 3 .函数单调性的判定和运用 .参考文献：

件： ( 1 )在闭区间[ a, b]上连续； ( 2 )在开区间( a, b )内可导，则至少8 0

[ 1]孙薇荣等.微积分[ M] .高等教育出版社，

2 0 0 4 . [ 2]王玉华.应用数学基础[ M] .高等教育出版社， 2 0 1 0 . [ 3]赵强.浅析高职数学课程教学的研究与实践[ J] .时代教育， 2 0 1 l ( 8 ) .

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