三角函数复习教案 整理(17)

三角函数复习教案 整理

ππππ

解 y=cos(θ)－cos［2(θ］=cos(+θ)－［2cos2(θ)－1］

4444

ππππ1

=－2cos2(θ+θ)+1 =－2［cos2(θ+)－θ)］+1

44424

π19

=－2［cos(θ－］2+．

448

∵θ∈［－

π

1212

,

π

πππ

∴θ＋］．

463

π1∴≤cos(θ)≤ ∴y最小值 =

224

－1

． 2

点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．

例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．

1232

解 令t=sinx+cosx，则y=t+t+1=(t++且t∈［－，2 ］，

2

24

3

∴ymin= ，ymax=3+

4

．

点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题． 【知能集成】

较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令

t2－1

sinx+cosx=t，则sinxcosx= ．

2

【训练反馈】

11．函数y= 的最大值是 （ ）

2+sinx+cosx

2 2 2 －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－ 2222

2．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为 （ ） A．

1111

C． 5 D． 7，－5 22

πsinx+1

3．当0≤x≤时，函数f(x)= 的 （ ）

2 cosx+1

1

A．最大值为2，最小值为 B．最大值为2，最小值为0

2

A．7，5 B． 7C．最大值为2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值为0

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