点集拓扑学期末考试练习题(含答案)(14)

复习用

Y A B ………………………………… 3分

由于Y是连通的，所以Y A或者Y B,如果Y A，由于Z ，所以Z B B ，因此 B Z B ,同理可证如果Y B，则A ,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分

5、设{Y } 是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果 Y ,则 Y 是X的一个连通子集.

证明：若 Y 是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得 Y A B………………………………………… 4分

任意选取x Y ,不失一般性，设x A,对于每一个 ，由于Y 连通，从而 Y A及B ,矛盾，

所以 Y 是连通的. ………………………………………… 8分

6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A B ,则A B.

证明：若B X,则结论显然成立.

下设B X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分

由于A B 及A连通，所以A B A，故A B.………… 8分

7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界 (A) .

证明：若 (A) ,由于 (A) A A ,从而

A A (A A ) (A A ) (A A ) (A A ),

故A ,A 是X的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A是X的非空真子集,所以A和A 均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以 (A) . ……………………………………………… 8分

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