点集拓扑学期末考试练习题(含答案)(11)

复习用

A B ，并且这时有:

X ( A) ( B) B

从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足

. A B ,A B X

8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B A ，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A B X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.

五．简答题（每题4分）

1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A B.试说明d(A) d(B). 答案：对于任意x d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U (A {x}) ,由于A B，从而U (B {x}) U (A {x}) ，因此x d(B)，故d(A) d(B).

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X Y, g:Y Z都是连续映射，试说明g f:X Z也是连续映射.

答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y Z是一个连续映射，从而g 1(W)是Y的一个开集，由f:X Y是连续映射，故f 1(g 1(W))是X的一开集，因此 (g f) 1(W) f 1(g 1(W))是X的开集，所以g f:X Z是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A 是一个开集. 答案：对于 x A ,则x A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U (A {x}) ,因此U A ，即U A ,所以对任何x A ,A 是x的一个邻域，这说明A 是一个开集.

4、设X是一个拓扑空间，A X.试说明：若A的补集A 是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设x A,则x A ,由于A 是一个开集，所以A 是x的一个邻域，且满足A A ,因此x ,从而A ,即有 A，这说明A是一个闭集.

5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y x,y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2, )

设在这个等价关系下得到的商集Y {[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.

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