点集拓扑学期末考试练习题(含答案)(13)

复习用

设在这个等价关系下得到的商集Y {[ 1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T { ,Y,{[4]},{[2],[4]}}

六、证明题（每题8分）

1、设f:X Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X) A B …………………………………………… 3分

于是f 1(A),f 1(B)是X的非空子集，并且：

(f 1(A) f 1(B)) (f 1(B) f 1(A))

(f 1(A) f 1()) (f 1(B) f 1())

f 1((A ) ( B))

所以f 1(A),f 1(B)

1是 1X的非 1空隔离子集 此外，f 1( A)f( B) f(A f(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(f X(f)X)X

个连通子集. ………………………… 8分

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y A B,则或者Y A,或者Y B.

证明：因为A,B是X的开集，从而A Y,B Y是子空间Y的开集. 又因Y A B中，故Y (A Y) (B Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A Y,B Y中必有一个是空集. 若B Y ,则Y A;若A Y ,则Y B………………… 8分

3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y A B,则或者Y A,或者Y B.

证明：因为A,B是X的闭集，从而A Y,B Y是子空间Y的闭集. 又因Y A B中，故Y (A Y) (B Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A Y,B Y中必有一个是空集. 若B Y ,则Y A;若A Y ,则Y B………………… 8分

4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足Y Z ，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z A B.因此

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库点集拓扑学期末考试练习题(含答案)(13)在线全文阅读。