数值分析第五版习题总结(9)

(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

f(x) H3(x) R(x) 0

(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3 (xk) 0

(xk 1) 0

由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使

( 1) 0, ( 2) 0

即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点， 故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推，

(4)

(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。

记为 (xk,xk 1)使

(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0

又 H3(4)(t) 0

f(4)( )

g(x) , (xk,xk 1)

4!

其中 依赖于x

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4!

分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1, ,n)，设步长为h，即

xk x0 kh,k 0,1, ,n在小区间[xk,xk 1]上

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4! 1(4)

R(x) f( )(x xk)2(x xk 1)2

4!

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