数值分析第五版习题总结(8)

(xj) (xj x1)(xj x2) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) n

令g(x) xk,

xkj

g x1,x2, ,xn (x)j 1nj

n

xkj

则g x1,x2, ,xn

(xj)j 1 n

n

又

n

j 1

n

xk1j

g x1,x2, ,xn f (xj)an

j 1

xk 0,0 k n 2;j

1

f (xj) n0,k n 1

得证。

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)

R3(x) f ()( x

k

x2) (x

k 1

x

2

) / 4!,

k

,x (k1x

)

解：

若x [xk,xk 1]，且插值多项式满足条件

(xk) f (xk) H3(xk) f(xk),H3

(xk 1) f (xk 1) H3(xk 1) f(xk 1),H3

插值余项为R(x) f(x) H3(x) 由插值条件可知R(xk) R(xk 1) 0 且R (xk) R (xk 1) 0

R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数

(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2

根据余项性质，有

(xk) 0, (xk 1) 0

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