浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类(6)

历年试题及答案

四．（本题满分20分） 设函数f连续，a b，且 f x 0，

a

b

试证明：f x 0，x a,b 。 证明: ① f x lim f( i) xi

ab

n

0

i 1

由于a b, 故 xi 0, 无论 a,b 怎么分、 i xi 1,xi 怎么取，

lim f( i) xi存在且相等， 即lim f( i) xi 0，

0

i 1

nn

0

i 1

由于f连续，故f x 0，x a,b ；（理由说的不够充分） ②假设存在x0 a,b ，使得f x0 0，不妨设f x0 0， 则 0, x [x0 ,x0 ],都有f x 0，

由于函数f连续，故在[x0 ,x0 ]内存在最大、最小值分别为M0,m0，显然M0 0,m0 0，

而 f x

ab

x0 x0

f x 2 m0 0与 f x 0矛盾，

a

b

故假设错误，即f x 0，x a,b 。 五．（本题满分15分） 判别级数

n

n 1

的敛散性。

n

解：斯特林公式：n! e12n,0 1

e

极限形式：lim

n

n!enn

n 12

1.

n 1

n 1

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