浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类(13)

历年试题及答案

（1）求limxn； （2）证明数列

n

xn 单调减少.

解：（1）显然 2n 12n 1

n2 2n xn n

2

故有

limn

xn 0.

2 n 1

（2）xn 1

1

n2

k

k 0

2n

1

1

k 0

n 1

2

k

1

n 1

2

2n 1

n 1

2

2n 2

，

2n

x2 11

n xn 1 k 0n2

kn 1

n 1 2 k

n2 4n 2 n2 4n 3

2n 1 2n 1

1n2 2nn2

4n 1 1 n2 2n n2 4n 1

2n n 1

n2

2nn2

4n 1 0，

于是数列 xn 单调减少.

六．解：（1）

f x 13x2 2

3

，在 0, 上严格单调递增，

欲使

f a,b a,b ，必有f a a，f b b. 考虑

f x 12

3x2 3

x，

x2 3x 2 0，

2

2

3 1

x 2 2

，

x1 1，x2 2，

所以存在区间

1,2 ，使f 1,2 1,2 .

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