浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类(16)

历年试题及答案

2

3、求 1

dy1

ex0 y

ey2

x dx.

解: 1

dy1

ex2

x2

0 y

ey2

x dx

10dy 1eyxdx 10dy 1y

ey2

dx 1dx

x

ex

2

xdy 1dy 1yey20dx

1

x2

1

y)ey2

edx (1 dy 1

2

e 1

xexdx

2

. 4、求过(1,2,3)且与曲面z x (y z)3的所有切平面皆垂直的平面方程.

解:令F(x,y,z) x (y z)3 z

则F2

x (x,y,z) 1,Fy (x,y,z) 3(y z),Fz (x,y,z) 3(y z)2 1令所求平面方程为: A(x 1) B(y 2) C(z 3) 0,

在曲面z x (y z)3上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0, 1}, 则A C 0

在曲面z x (y z)3上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3, 4}, 则A 3B 4C 0. 解得: A B C

即所求平面方程为: x y z 6.

二、(15分)设f(x) ex

x3

6

,问f(x) 0有几个实根?并说明理由.

解: 当x 0, ex

0 x3

6

0, e0

0且ex

的增长速度要比x3

当x 6

来得快!所以f(x) 0无实根.

3

三、(满分20分)求 xn 中x20

的系数.

n 1

333

解: 当x 1时, n x 1 3

xn 1

1 x 1 x x

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