数学物理方程 2008-2009第二学期试题(A)答案(5)

数学物理方程 2008-2009第二学期试题(A)答案

2

R R

h2 2 . RR 由此得到两个常微分方程

0; （1）

2R R h2 2 R 0. （2） （8分）

方程（1）加上自然条件 2 构成本征值问题，解此本征值问题，得本征值和本征函数分别为

2 m 0,1,

m

m2

;smin

m Amcosm B

m

（4分）

0 ,1 ,2

将 m2代入方程（2）,求出其通解是 Rm CmJm h

（2分） DY hm m

由于是圆形截面问题，应该有自然条件R(0) ，这时取Dm 0. （1分） 组合叠加得问题的一般解是

Ez , Rm m

m 0

Amcosm Bmsinm Jm h

m 0

（3分）

五 证明：（1）在利用变换 x sinx y， x sinx y，可以将偏微分方程

2u 2u 2u u 2u2

（10分） 2cosx sinx2 sinx 0化成 0；2

x x y y y

（2）证明这个方程在边界条件u|y sinx (x),uy|y sinx (x)下的解为

u(x,y)

(x sinx y) (x sinx y)1

2

2

x sinx y

x sinx y

( )d 。（10分）

证 （1）

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