数学物理方程 2008-2009第二学期试题(A)答案(4)

数学物理方程 2008-2009第二学期试题(A)答案

2

v2 v

t a x2,(0 x l,t 0),

vxx 0 0,vx l 0, t 0 , （5分）

v F0 x2 l2 x2 u0.

2

t 02a

利用分离变量法，得到满足边界条件的解为

2n 1 a t 2l

2

v(x,t) Cne

n 1

cos

2n 1 x.

2l

。 （5分）

其中

Cn

2n 1 x2l F0 22x l ucos 0 2 l 0 2l 2a

n 1

2

1

16F0l2a 2n 1

3

3

1

n 1

4u0

.

2n 1 （3分）

因此，原定解问题的解是

F

u x,t u0 02 l2 x2 2a

2 （2分） 2n 1 2 a2n 1 x t 16F0l4u0n 1

1 2 . e 2l cos33

2n 1 2l n 1 a 2n 1

四 在圆形截面波导中，电磁场分量Ez所满足的方程用柱坐标表示为

2Ez1 Ez1 2Ez2

hEz 0, 222

试用分离变量法求其一般解（18分）。

解 令Ez , R ,代入到方程中，有

d2R1dR1d2 2

R hR 0, 222

d d d 两边同乘

2

R ，并移项整理，得

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