实变函数题库集答案之欧阳学文创编(21)

21. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？ 答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数 22.[],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？ 答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数

六、计算题

1. 设()[]230,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ?.

解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =??

，

而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，

因此()[]

0,114f x dx =?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，

(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??，求()[]0,1lim n n f x dx →∞?.

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