实变函数题库集答案之欧阳学文创编(18)

4. [],a b上单调函数与有界变差函数有什么关系？

答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.

5. 简述集合对等的基本性质.

答：A A；若A B，则B A；若A B，且B C，则A C.

6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.

答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.

7. 可测集与开集、G

σ

集有什么关系？

答：设E是可测集，则0

ε?>，?开集G，使G E

?，使()\

m G Eε<，

或?G

σ集G，使G E

?，且()\0

m G E=.

8. [],a b上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？

答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数.

9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.

答：若A B B

*?，又B A A

*?，则A B

10. 简述1R中开集的结构.

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