线性系统理论+课后答案+(程兆林+马树萍+著)+科学出版社(13)

好东西

2

RC2V0RC2V0

(4) I≤L . ≤L T≥

TL

2

*

9. 解： 充分性：由(Ai, bi)能控且A1, A2无公共特征值来证(A=

A1 b1

,=b b )能控. A2 2

由λ(A1) ≠ λ(A2)知若λi为A1的特征值，则λi-A2非奇异. 又由(A1, b1)能控知rank[λiI A1

b1]=n1,从而rank[λiI Ab]=n.

若λi为A2的特征值, 同理可证. 综合之, 即得(A, b)能控.

反证, 若A1, A2有相同的特征值λ，则

λI A1

rank

λI A1

rank

www.

11. 证明：

(A, b)不能控 反设不成立 A1, A2无公共特征值.

必要性：已知(A,B) 若AX=XA,XB=0, 则必有X=0.

XB=0

XAB=AXB=0

XA2B=AXAB=0 #

XAn 1B=0 XB

[

khd

≤n 2

λI A2

课

故(Ai, bi)能控

后

rank[sI A1b1]=n1, rank[sI A2

答

sI A1

rank

sI A2

b1

=n, s∈C b2

λI A2

b1

≤n 1<n b2

AB"An 1B=0

]

aw.

网

b2]=n2, s∈C

必要性：由(A, b)能控来证(Ai, bi)能控且A1, A2无公共特征值.

案

com

b1 b1 λiI A1 λiI A1

=rankrank I A0λλIAbii22 2

=n2+rank(λiI A1b1).

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