电磁场三章习题解答(4)

bbU??Edr??a则同轴线单位长度的电容为 C??l?bdr?lln 2??r2??aaql2??U?ln(ba)

b22ql211qq112ll)2?rdr?同轴线单位长度的静电储能为 We???Ed????( ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，

此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。

解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有

E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到

D1S1?D2S2?q

即 2?r2?1E?2?r2?2E?q

所以 E?q2?r2(?1??2)

?1 a q 导体球的电位

?qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(?1??2)ar12aqC??2?(?1??2)a 故导体球的电容

?(a)??2 o 1q2（2） 总的静电能量为 We?q?(a)?

24?(?1??2)a3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。

解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。

导体球的电容为 C?4??0a

题 3.33图

q2q2? 故静电能量为 We?2C8??0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力

1?We1?q2q2f????()?

4?a2?a4?a2?a8??0a32?2?0a4方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?q22432??0a这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos? 在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为

2??2er

F??fdS???00222?aq eerasin?d?d??z32?2?0a432?2?0a42q2?2?cos?sin?d??32??a00q22ez

3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高

h?其中?为液体的质量密度。

解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时，其电容为

U(???0)()2 2?gd1C?U ?ah?0a(L?h)? dd金属板间的静电能量为

1aU22We?CU?[h??(L?h)?0]

22d液体受到竖直向上的静电力为

L h ?WeaU2Fe??(???0)

?h2d而液体所受重力

? d Fg?mg?ahd?g

2aUFe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg

2d题3.35图

故得到液面上升的高度

(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0?至180?电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。

解 当动片为?角时，电容器的电容为

350?25?12C??25???25?1.81?PF?(25?1.81?)?10F ?180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?1.81?)?10U0

22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？

（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为

S ?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极

板面积基本上垂直地插入，如题3.37(b)图所示，则电

d ?d 容器的能量如何变化？电容量又如何变化？

U0

解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为

题3.37图(a)

E0?U0 d电容为 C0??0Sd

?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22d当插入金属板后，电容器中的电场为 E?U0

d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0S C?2?

U0d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为

?C?C?C0??0Sd??d??0Sd?

?0S?dd(d??d)

?We?We?We0??0SU02?d2d(d??d)（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E

S q d 再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q

? ?0 ?S ?q q

??S??0(S??S)qd 两极板间的电位差位 U?Ed???S??0(S??S)于是得到极板间的电场为 E?211qd题3.37图(b) 此时的静电能量为 We?qU?22??S??0(S??S)??S??0(S??S) 其电容为 C?d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??

2?0S[??S??0(S??S)] 3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解决。

??t2?E?（1）证明：有源区E的微分方程为，?t????P；

?0（2）证明：E的解是 E?????td?? ?4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(??E)??2E?0

(???P) ?0?(???P)??t2?故得到 ?E?

?0?0??t2（2）在直角坐标系中?E?的三个分量方程为

?01??t1??t1??t22?2Ex? ，?Ey?，?Ez??0?x?0?y?0?z又 ??E?1?0??(D?P)?1其解分别为

1??td?? ?4??0?R?x?11??tEy??d?? ?4??0?R?y?Ex??1Ez??1??td?? ?4??0?R?z?1故 E?exEx?eyEy?ezEz?

??t??t1??t???t1?d?? [ex?ey?ez]d??? ???4??0?R4??0?R?x??y??z?13.39 证明：???(??tR???t)??t??()???t3? ，所以 RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RR???R?R???td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t??()d????4??0E?4??0E?0 故 ?R?解 由于 ??(

?t)d???0 R1???t

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