电磁场三章习题解答

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

q 赤道平面 D?a qR?R?[3?3]? 4?R?R?err?ez(z?a)qerr?ez(z?a){2?} 4?[r?(z?a)2]32[r2?(z?a)2]32z?0则球赤道平面上电通密度的通量

???D?dS??D?ezSSdS?

?q 题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 22322232?4?0(r?a)(r?a)aqa(r2?a2)12a?(01?1)q??0.293q 23.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0?erZe?1r??2?3?，试证明之。 4??rra?解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?erZe 24?rZe3Ze????? 原子内电子云的电荷体密度为

4?ra334?ra3b ?0 c a 题3. 3图(a)

面半径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

在r?b区域中，由高斯定律??E?dS?S?4?r33Zer??e 电子云在原子内产生的电通量密度则为 D2?err4?r24?ra3Ze?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er?2?3?

4??rra?33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱

q?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生

?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r???er???? E1 的电场分别为 E1?er22??2??0r2?0r2??0r2?0rb b c ?0 a ＝ ?0 c a ＋

b ?? 0a c 题3. 3图(b)

?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2

2??0r2?02??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2?0?0r??r?2?0?r???er?E3?er???0 E32??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。

解：由??D??，有 ?(r)???D?故在r?a区域 ?(r)??01d2(rDr) 2rdr1d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr1d2(a5?Aa4)在r?a区域 ?(r)??02[r]?0 2rdrr43.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体

电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计

算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r3???0??E??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04

rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 ??2Q?2?0 24?a 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为

?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具

有什么关系？

解 （1）由高斯定理

??D?dS?q，当r?a时，有 D0S01?0

当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?ba?1?b?2?0，则得到 1??

?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点P1(2,1,?1)移到点P（1）沿曲线x?2y2；（2）沿连接该两点的直线。 2(8,2,?1)时电场所做的功：

dl?qE?dl?qExdx?Eydy? 解 （1）W?F?CCC???2222q?ydx?xdy?q?yd(2y)?2ydy?q?6y2dy?14q??28?10?6(J)

C11（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222?6故W?qydx?xdy?qyd(6y?4)?(6y?4)dy?q(12y?4)dy?14q??28?10(J)

C1???1 点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。

解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的

电位为

3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意

z L2L2?(r,0)? P ? ?L2??l0dz?4??0r?z?22?

L2?l0 o r

?l0ln(z??r2?z?2)4??0?

?L22r2?(L2)?L2?l0ln?

224??0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2??0r?L2 题3.8图

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为

dE?erdEr?er?l0dz?2??0r2?z?2cos??er?l0rdz?2??0(r2?z?2)32L20

故长为L的线电荷在点P的电场为

L2E??dE?er?2??0?l0rdz?2232?(r?z)0?z?)?erl0(2??0rr2?z?2?er?l0L

4??0rr2?(L2)2由E????求E，有

2?l0?L2?r2?(L2)??? E????????ln2??0?r??er?l0d?2lnL2?r2?(L2)?lnr??

???2??0dr?Lr?(L2)22???????l0?r1?e?l0?er???r?4??0r2??0??L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r???????

rP?l3.9 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?erdl求其电，试用定义式?(r)??E?2??0rr位函数。其中rP为电位参考点。

rPrP解

?(r)??E?dl??rr?l??lrdr?llrn?r2??0r2??02??P0rP lnr由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。

3.10 一点电荷?q位于(?a,0,0)，另一点电荷?2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。 解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位

?(x,y,z)?令?(x,y,z)?0，则有

14??0(x?a)?y?z(x?a)?y?z12??0

222222(x?a)?y?z(x?a)?y?z[q222?2q222]

即 4[(x?a)2?y2?z2]?(x?a)2?y2?z2

524a)?y2?z2?(a)2 3354由此可见，零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。

33Ze1r23(??) 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 ?(r)?4??0r2ra2raZe 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 D1?er4?r2故得 (x??4?ra33Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2?er??er224?r4?r所以原子外的电场为零。故原子内电位为

Ze1r23Zea1r(??) ?(r)??Ddr?(?)dr?234??r2r2r?0r4??0?rr0aaar3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

r?a??(r)?0? ?a2r?a??(r)?A(r?)cos??r1rar （1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解 （1）由E????，可得到 r?a时， E?????0

?a2?a2r?a时， E??????er[A(r?)cos?]?e?[A(r?)cos?]?

?rrr??ra2a2?erA(1?2)cos??e?A(1?2)sin?

rr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

???0n?Er?a??0er?Er?a??2?0Acos?

3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2??0 （1）sin(kx)sin(ly)e?hz 其中h2?k2?l2； （2）rn[cos(n?)?Asin(n?)] 圆柱坐标； （3）r?ncos(n?) 圆柱坐标； （4）rcos? 球坐标； （5）r?2cos? 球坐标。

?2??2??2?解 （1）在直角坐标系中 ???2?2?2

?x?y?z?2??2?hz2?hz 而 ?[sin(kx)sin(ly)e]??ksin(kx)sin(ly)e22?x?x?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]??lsin(kx)sin(ly)e22?y?y?2??2?2[sin(kx)sin(ly)e?hz]?h2sin(kx)sin(ly)e?hz 2?z?z故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0

21????2??2?(r)?22?2 （2）在圆柱坐标系中 ???r?r?rr???z1???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] 而

r?r?rr?r?r2

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