电磁场三章习题解答(2)

1?2???n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) （3）

r?r?rr?r?r1?2?2?n?2??nrcos(n?) 22r???2??2?n?2[rcos(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

1?2??1???1?2? (r)?2(sin?)?22（4）在球坐标系中 ???22r?r?rrsin?????rsin???1?2??1??2(r)?2[r2(rcos?)]?cos? 而 2r?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????21?2?1?2?(rcos?)?0

r2sin2???2r2sin2???2故 ?2??0

1?2??1??2(r)?2[r2(r?2cos?)]?2cos? （5） 2r?r?rr?r?rr1???1???2(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?2?1?2?2?(rcos?)?0

r2sin2???2r2sin2???2故 ?2??0

3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?

（1）e?ycoshx； （2）e?ycosx； （3）e?1?22(?rsin?)??cos? 2rsin???r1?2?22(?rsin?)??cos? 24rsin???rcosxsinx

（4）sinxsinysinz。

2y?2?y?2?y?2?y解 （1）2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0

?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解；

?2?y?2?y?2?y(ecosx)?2(ecosx)?2(ecosx)??e?ycosx?e?ycosx?0 （2） 2?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解；

?2?2y?2?2y?2?2y(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)? （3） 2?x?y?z?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0

所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解；

?2?2?2(sinxsiynszi?n)2(xsinysinz?si2n)（4） 2?x?y?z?3sinxsinysinz?0

所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。

x sinsin)(syin?z3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P0(exx?eyy?ezz)。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。

解 （1）

?P????P??3P0

?P(x?)?n?PL2L2x?L2?ex?Px?L2?LP0 2LP0 x??L2x??L22LLLLL同理 ?P(y?)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0

22222L32q??d???dS??3PL?6L?P0?0 （2） P?PP0??2?S?P(x??)?n?P??ex?P?3.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心点的电位为

解 由

2?r?1?2()R0 2?r3?0??D?dS?q，可得到

S4?r3r?R0时， 4?rD1??

3D1?r?rE?? 即 D1?， 1?r?03?r?0334?R02r?R0时， 4?rD2??

33D1?R0?R03? ， E2? 即 D2?22?3?r3r002故中心点的电位为

?22?R03?r?R?R2?r?1?2 00?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr???()R203?r?03?0r6?r?03?02?r3?00R0R3.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一

00R0?R0常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p????P??在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?n?Pr?R1d2KK(r)?? 22rdrrrK?er?Pr?R?

R（2）由于D??0E?P，所以 ??D??0??E???P?即 (1??0??D???P ?????0?K2

(???)r0?0)??D???P ?由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 ????D?????0??P???p??KR14??RK24?rdr? 总的自由电荷量 q???d??2????r???000?（3）介质球内、外的电场强度分别为

PK?er (r?R) ???0(???0)rq?RKE2?er?er22 (r?R)

4??0r?0(???0)rE1?介质球内、外的电位分别为

?R??1??E?dl??E1dr??E2dr?

K?RKdr?dr? 2??(???)r?(???)r00rR0KR?Kln? (r?R)

(???0)r?0(???0)???RK?RK?2??E2dr??dr? (r?R) 2?(???)r?(???)r000rr03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度?P的表达式。

rRrR??P????P????D??0??E

在介质内没有自由电荷密度时，??D?0，则有 ?P??0??E

(?E)????E?E????0 由于D??E，有 ??D???E??? 所以 ??E???解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为

由此可见，当电介质不均匀时，??E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。

（2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0??E???0E??? ?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的

E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)

那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？

解 设在介质2中

E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)

D2??0?r2E2?3?0E2

(D1?D2)?0，可得 在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?

??2?5?0?3?0E2z(x,y,0)于是得到 E2x(x,y,0)?2y

E2y(x,y,0)??3x

E2z(x,y,0)?103

故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为

E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)

不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的

电场是不相同的。

3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

?1??E0rcos???2?????03cos?aE02 r?a

??2?0r3?0Ercos? r?a

??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。

解 在球表面上

?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???Eacos?

??2?0??2?003?0E0acos?

??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???Ecos? r?a0?r??2?00??2?003?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2??故有 ?1(a,?)??2(a,?)， ?0r?ar?a

?r?r?2(a,?)??可见?1和?2满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为

?p?n?P2r?a?(???0)er?E2??(???0)??2?rr?a?3?0(???0)E0cos?

??2?0d)23.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0~用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。

(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。

解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有

?E??0E0

ddE?E??U0 又由于022由以上两式解得

d2z U0

2?0U02?U0d2? E??E?? ，0

(???0)d(???0)d2?0?U0 题 3.21图 ???E?? 故下极板的自由电荷面密度为 下(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为 上00(???0)d2?0(???0U)0P?(???)E??e 电介质中的极化强度 0z(???0)d2?0(???0U)0???e?P? 故下表面上的束缚电荷面密度为 p下z(???0)d2?0(???0)U0??e?P?? 上表面上的束缚电荷面密度为 p上z(???0)d2?0?UQ??? （2）由

ab(???0)dE0 (???0)dQU? 得到?1 2?0?ab?2 (???0)QE ?故 ?p下??ab(???0)Q?0 ? E0

?p上??

?ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。 ?1，如题3.22图所示。求：

3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角

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