电磁场三章习题解答(3)

解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 由此得到

tan?1?0? tan?2??1?tan?1?0tan?2?1?tan?10?tan?1?14? ??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即

?0E0cos?1??En ?1?所以 En?0E0cos?1?E0cos14

?4介质板左表面的束缚电荷面密度 介质板右表面的束缚电荷面密度

?p??(???0)En???0E0cos?1?4?340.?7E28 00340.?7E28 00?p?(???0)En??0E0cos?1?43.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：

（1）平行于E的针形空腔；

（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。

解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中

E0?E，D0??0E0??0E

（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中

D0?D??E，E0?D0?0??E ?03.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。

解 由题意可知，介质的介电常数为

???1?y(?2??)1d

设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得

Dy???q SEy?dDy??q

[?1?y(?2??1)d]Sd所以，两极板的电位差 U??Eydy??0?qqddy?ln2

[?1?y(?2??1)d]SS(?2??1)?10故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。

解 在质子束内部，由高斯定理可得 2?rEr?1?02?r?

?r2.32?10?7r4?3??1.31?10rVm (r?10 )故 Er?m?122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?0?a2?

?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10 )故 Er?m?122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证

?(??)。试问有没有束明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??J?缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。

???????D???(?E)???(J)?J??()???J 解

????(??) 对于恒定电流，有??J?0，故得到 ??J?介质中有束缚体电荷?P，且

????0?J??P????P????D??0??E??J??()??0??()??J??()?J??(0)??J??()

?????3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，外导体接地。

求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。

解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由J?dS?I，可得电流密度

S?I

(a?r?c)

2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0?E1?dr?E2?dr?ab??I2??1lnbIc?ln a2??2b于是得到 I?故两种介质中的电流密度和电场强度分别为

2??1?2U0

?2ln(ba)??1ln(cb)J?er?1?2U0 (a?r?c)

r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)] （2）由??n?D可得，介质1内表面的电荷面密度为

?1??1er?E1介质2外表面的电荷面密度为

r?a??1?2U0

a[?2ln(ba)??1ln(cb)]???2???2er?E2两种介质分界面上的电荷面密度为

r?c?2?1U0

c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0

r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2

I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)?12??(?1er?E1??2er?E2)3.28 半径为R和R(R?R)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导

2121率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。

解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以

4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)

(R1?r?R2)

R2由两导体间的电压 U0?R1?E?dr?R1??R(R?K)?II dr?ln?21?4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?4??0KU0可得到 ?R2(R1?K)?

ln???R1(R2?K)??0KU0J?er所以 ?R(R?K)?

r2ln?21??R1(R2?K)?I????J??()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为

1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln???R1(R2?K)??K2U0??1?er?J?r?R1???2??er?J?r?R2（2）两理想导体球面间的电阻

1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln??R(R?K)?12??KU01???R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21??R1(R2?K)??KU0U0R(R?K)1 ?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R和R的理想导体小球，两球

21R?之间的距离为d(d??R,d??R)，试求两小导体球面间的电阻。

12解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、d??R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。

设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R、d??R，可得到两小球表面的电位为

12q11(?) 4??R1d?R2q11?2??(?)

4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2I4??G?? 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R??(???)

G4??R1R2d?R1d?R2?1?3.30 在一块厚度d的导电板上， 由两个半径为r和r的圆弧和夹角为?的两半径割出的

21一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。

解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有

1E1?J U1 dr2 ? ? r1 3.30图

d 故得到沿厚度方向的电阻为 R1?d?U1?22

I1?J1S1??(r2?r1)d2J1??E1??U1

U12d ?22I1??(r2?r1)2（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I，则

J2?r2I2I?2S2?rdI2rln2 ??dr1

E2?J2I?2 ???rdU2??E2dr?r1故得到两圆弧面之间的电阻为

R2?U2r1?ln2 I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3?E3rd?

?0由于E3与?无关，所以得到

E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr?dU3?dU3r2I3??J3?e?dS??dr?ln

?r?r1Sr231U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。

故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

E(r)?b?l 2??0r由内外导体间的电压 U?Edr?a??l?lbdr?ln ?2??r2??a00ab得到 ?l?2??0U

ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中，rU

rln(ba)?a处的电场强度最大 E(a)?U

aln(ba)令E(a)对a的导数为零，即 由此得到 ln(b/a)?1 故有 a??E(a)1ln(ba)?1??2?0 2?aaln(ba)bb? e2.718eUEmin?U?2.718

bbql23.32 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单

2C位长度上的电容。

解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?内外导体间的电压为

ql2??r

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