2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导(5)

5 C ．2π2 D ．12

(2＋π)2 [解析] 曲线y ＝x sin x 在点? ??

??－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22

． 二、填空题

3．(2018·太原高二检测)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )

是奇函数，则φ＝π6

． [解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)

＝2sin ?

????3x ＋φ＋5π6． 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，

即0＝2sin ?

????φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6

． 4．(2018·南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )

＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝1＋1e

． [解析] f ′(ln x )＝1＋1x ；∴f ′(lne)＝1＋1e

； 即f ′(1)＝1＋1e ．故答案为1＋1e

． 三、解答题

5．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2

＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．

[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1．

又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．

故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e ．

∴b ＝0，d ＝0．∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1．

∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，

∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1．

∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1．∴a ＝52，c ＝－92

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