压缩态(4)

自然的得到，只要谐振子哈密顿量中的参数（频率ω和质量m）是随时间演化的。我们来看薛定谔方程

p2m(t)ω2(t)2

H(t)=+ q （17） ih tψ=H(t)ψ，

2m(t)2

对此方程在时间[0,t]做形式化积分，我们得到

(t)ψ= ψ(t)=St=0

其中tj=jΔt，Δt=t/N。

lim∏e

N→∞

j=1

N

i

H(tj)Δth

ψt=0 （18）

我们现在证明压缩态的演化满足

Q(t)p )ψ(t)=0 （19） (P(t)q

其中P(t)和Q(t)是欲知函数。

我们先定义量

(t)=S (t)(P(0)q 1(t) （20） Q(0)p )S C

在任何时候

(t)ψ(t)=S (t)(P(0)q 1(t)S (t)ψ=0 （21） Q(0)p )S C (t)满足运动方程 量C

H(t)Δt1 hH(t)Δt h (t))=i[C (t),H(t)] （22） h tC(t)=lim(eC(t)e C

ΔtΔt→0

i

i

,H]也是同阶多项式。 ,H] 是q,p的n阶多项式，我们要注意到，如果C那么对易子[C由于[C

随时间演化的速度， 是q,p的线性多项式， 决定了C而且在t=0时C那么我们很自然假设C

(t)=P(t)q Q(t)p 。利用演化方程，我们发现 在任何时候都是q,p的线性多项式，C

2mω22pP )]= h(p +mω2Qq ) （23） Qp ),(+q h tC(t)=i[C(t),H(t)]=i[(Pq

m2m2

&(t)p (t)=P&(t)q Q ，得到 代入 tC

&=P/m，&= mω2Q （24） Q P

这与谐振子的经典哈密顿方程(17)相同。初始状态，也就是态（9），一般来说是复值。例如，

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