全国2007年7月自考复变函数与积分变换答案(6)

全国2007年7月自考复变函数与积分变换答案

28.将函数f(z)=

2z z 2

在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.

0 |z| 2

2

z2

11

1

1

n

z f(z) ( 1)

zz z 2 zzn 0 2 1 2

n

n 0

(

12

)z

nn 1

四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20分) 29．（1）求f(z)=

z1 z

2

e在上半平面的所有孤立奇点；z=i(一级极点)

iz

e

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

1

2

2

（3）利用以上结果计算积分I=

xsinx1 x

dx.

【注：实函的积分结果一定是实数，不会是虚数】

xe

x2

1 x

dx 2 i

e

1

2

ei

1

xsinx1 x

2

dx e

1

30.设D是Z平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射： （1）ω1=f1(z)把D映射成ω1平面上的带形区域D1：0<Reω1<π；w1

z 1

（2）ω2=f2(ω1)把D1映射成ω2平面上的带形区域D2：0<Imω2<π；w2（3）ω=f3(ω2)把D2映射成ω平面上的上半平面D3：Imω>0；（4）综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f(z). 31.(1)求e的拉氏变换L [e ];

t

t

ew1 iw1

w2

2

i

w e

w e

i(z 1)

(2)设F（p）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y′(t)]、L [y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=0，求L [y′(t)]、L [y″(t)];

y 2y y et

(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：

y(0) 0,y(0) 0.

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