等差数列与等比数列-高考高考文科数学热点难点专题专题突破(6)

16．已知数列{a n }与??????a 2

n n (n ∈N *)均为等差数列，且a 1＝2，则a 1＋? ????a 222＋? ????a 333＋…＋? ????a n n n ＝________. 答案 2n ＋1－2

解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，

所以a 2n n ＝[2＋n －d ]2n

＝d 2n 2＋

d －2d 2n ＋d －2n ， 由于????

??a 2n n 为等差数列， 所以其通项是一个关于n 的一次函数，

所以(d －2)2

＝0，∴d ＝2. 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n n ＝2n n

＝2. 所以a 1＋? ????a 222＋? ????a 333＋…＋? ????a n n n ＝21＋22＋…＋2n ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.

17．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 017＝________.

答案 1

解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，

此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，

构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 017＝b 1＝1.

18．已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对?n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围为________．

答案 [0，＋∞)

解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，

得a n ＋2n ＋2－a n n

＝λ， 所以数列??????

a n n 的奇数项和偶数项分别构成首项均为1，

且公差均为λ的等差数列．

因为a 1＝1，a 2＝2，

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