【配套K12】高三数学(理)二轮专题复习文档：专题四概率与统计第2(2)

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教案试题 ＝π－2.区域Ⅱ的面积为S 2＝π·? ??

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－S 3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2

，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. 答案 A

3.(2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求E (X )；

(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解 (1)由题意知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.

因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]

＝2C 220p (1－p )17(1－10p ). 令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.

当p ∈(0，0.1)时，f ′(p )>0，f (p )单调递增；

当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )<0，f (p )单调递减.

所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1.

(2)由(1)知，p ＝0.1.

(ⅰ)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)， X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .

所以E (X )＝E (40＋25Y )＝40＋25E (Y )＝40＋25×180×0.1＝490.

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