1996数学二考研真题及答案(7)

所以

dydy==4tf'(t2),dxdtdyd dy 1

= =2

dxdt dx dt

(4)求函数f(x)=

2

'22''2

+fttft4 2()()

ft21 x

在x=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式. 1+x

【详解】 f(x)在在x=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式为： f(x)=f(0)+f

'

(0)x+

1''1n1n+1

f(0)x2+"+f()(0)xn+f()(θx)xn+1

n!2!n+1!

其中0<θ<1.可见，关键是求出f(x)在在x=0点的k阶导数

f(k)(0),k=0,1,2,",n+1

由于

f(x)=

2

1,1+x

k

( 1)2 k!k=1,2,",n+1k

f()(x)=)k+1(

(1+x)

所以

f(x)=1 2x+2x+"+( 1)2x+( 1)

2

n

nn+1

2xn+1

(1+θx)

n+2

(0<θ<1)

（5）求微分方程y+y=x的通解.

【详解】 对应的齐次方程的特征方程为：λ+λ=0 解得λ=0,λ= 1 故齐次方程的通解为

y=C1+C2e

设非齐次方程的特解为：xax+bx+c,代入原方程，得 a=

x

''

'

2

2

(

2

)

1

,b= 1,c=2, 3

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