1996数学二考研真题及答案(4)

（B） 当limf

x→ ∞

'

f(x)= ∞, (x)= ∞,，必有xlim→ ∞

'

x→+∞

（C） 当limf(x)=+∞,必有limf

x→+∞

(x)=+∞,

（D） 当limf

x→+∞

'

f(x)=+∞, (x)=+∞,，必有xlim→+∞

【 】

【答】 应选（D）. 【详解】 方法一： 利用举反例排除不正确选项. 令f(x)=x,则limf

x→±∞

'

、（C）均不正确. (x)=±∞,但f'(x)=1，可见（A）

因而只有（D）是正确选项. 方法二： 若limf

x→+∞

'

(x)=+∞,则存在M

>0及x0>0，当x>x0时，f'(x)>M

于是当x>x0时，有 f(x) f(x0)=f从而有

'

(ξ)(x x0)>M(x x0)

f(x)>f(x0)+M(x x0)→+∞(x→+∞)

（4）在区间( ∞,+∞)内，方程x+x cosx=0

（A）无实根. （B）有且仅有一个实根 （C）有且仅有两个实根 （D）有无穷多个实根

【 】

【答】应选（C）

【详解】 令f(x)=x+x cosx, 由于f( x)=f(x)，故f(x)为偶函数， 因此只需考虑f(x)=0在(0,+∞)内的实根情况. 当x≥0时，

f(x)=x+x cosx,

1

4

12

14

12

14

12

1 31 1

4

f(x)=x+x2+sinx

42

'

可见，当x∈ 0,

π π '时，在fx>0,fx()() 0, 内单调增加，且f(0)= 1，f2 2 π

>1， 2

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