1996数学二考研真题及答案(11)

七、设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,f存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b)，使f【详解】方法一（用反证法） 若不存在ξ∈(a,b)，使f

'

(a)f'(b)>0，证明：

(ξ)=0及f''(η)=0.

(ξ)=0，则在区间(a,b)内恒有f(x)>0或f(x)<0，

不妨设f(x)>0（对f(x)<0，类似可证），则

f(x) f(b)

f(b)=lim=lim

x→b x→b x b

f(x) f(a)

f'(a)=lim+=lim+

x→ax→ax a

'f(x)

≤0,x b

f(x)

≥0x a

从而f

'

(a)f'(b)≤0，这与已知条件矛盾，即在(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0

(ξ)=f(b)及罗尔定理，知存在η1∈(a,ξ)和η2∈(ξ,b)，使

再由f(a)=f f

'

(η1)=f'(η2)=0.

'

又在区间[η1,η2]上，对f方法二： 不妨设f

'

(x)应用罗尔定理，知存在η∈(η1,η2) (a,b)，使f''(η)=0.

，即 (a)>0,f'(b)>0（对f'(a)<0,f'(b)<0时类似可证）

lim+

x→a

f(x)f(x)

>0,lim>0,

x→b x bx a

由极限的保号性，存在x1∈(a,a+δ1)和x2∈(b δ2,b)使得f(x1)>0及f(x2)<0，其中

δ1,δ2为充分小的正数，显然x1<x2在区间[x1,x2]上应用介值定理知，

存在ξ∈(x1,x2) (a,b)使f以下证明类似方法一.

八、设f(x)为连续函数，

'

y +ay=f(x)的解f(x)，其中a是正常数； （1） 求初值问题

=0y|x=0

k ax

（2） 若f(x)≤k（k为常数），证明：当x≥0时，有y(x)≤(1 e).

a

(ξ)=0

【详解】

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