1996数学二考研真题及答案(10)

x< 1

g(

x)= 1≤x≤8

x+16 ,x>8

12

（2）由于函数f(x)在( ∞,+∞)内单调增加且连续，故反函数g(x)在在( ∞,+∞)内单调增加且连续，没有间断点. 由于f

'

(0)=0，且f(0)=0，

故x=0是g(x)的不可导点，

f( 1)= 1和f(2)=8是g(x)的两个可能的不可导点，

由于f

'

( 1 0)=4,f'( 1+0)=3,

所以x= 1是f(x)的不可导点， 因此g(x)在f( 1)= 1处不可导； 又 f2( 1+0)=f

'

'

(2 0)=12,

故f(x)在x=2处可导，因此g(x)在x=f(2)=8处可导.

六、设函数y=y(x)由方程2y 2y+2xy x=1所确定，试求y=y(x)的驻点，并判别

3

2

2

它是否为极值点.

【详解】 对原方程两边求导，得

3y2y' 2yy'+xy'+y x=0,

令y=0，得y=x，代入原方程，有 2x x 1=0 从而解得唯一的驻点x=1. 在（*）式两边对x求导得

3y 2y+xy+2(3y 1)y+2y 1=0,

2

''

'2

'

3

2

'

()

因此y

''

|(

1,1)

=

1

>0 2

故驻点x=1是y=y(x)的极小点.

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