重庆大学测试技术习题详解(5)

则 X t x f 证明：

FT

由于 x(t)

以 -t 替换 t 得

X(f)ej2 ftdf X(f)e j2 ftdf

x t

上式 t 与 f 互换即可得

x f

证毕。

特殊情况,当x t 为偶函数时，

X(t)e j2 ftdt

即 X t x f

FT

X t x f

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：

g t

且已知

at

2

1 t2

x(t) e

FT X(f)

2aa 2 f2

2

解：当a=2 ，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2 ，根据傅里叶变逆换有

e

2 t

2 2

2 2 2 f2

2 e

2 t

ej2 ftdf

1

2 2j2 ft

e 1 f2df

等式两端同时乘以2 ，并用-t替代变量t得

2 j2 ft

edt

1 f2

交换变量t和f得

2 e

上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以

2 f

2 j2 ft

edt

1 t2

f

g(t)

2-15．所示信号的频谱

2 2 FT

G(f) 2 e1 t2

x(t)

1

x1(t 2.5) x2(t 2.5) 2

式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为

X1(f)

sin fsin3 f

和X2(f)

f f

根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

X(f) e

x(t)

j5 f

sin f sin3

f

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