重庆大学测试技术习题详解(3)

同理可证

FS

x t t0 e j 0t0cn e j(2 /T)t0cn

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

Cn

2T11T jn 0t

edt sinc(n 0T1) T1TT

则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

X( ) 2

2T1

sinc(n 0T1) ( n 0) n T

此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频 0以及所有谐频处，其脉冲强度为4 T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

1

解：符号函数为 x(t) 1

0

t 0t 0 t 0

可将符号函数看为下列指数函数当a 0时的极限情况

eatt 0

解 x(t) sgn(t) at

t 0 e

0

j2 ft at j2 ft X f x t edt lim e.edt eat.e j2 ftdt

a 0 0

11

lim a 0a j2 fa j2 f

j

f

1j f

2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

t 0 1

(t) 1/2t 0

0t 0

(t)

所以：

1

1 sgn(t) 2

(f) (f)

2 j f

2-10．求指数衰减振荡信号x

1 1

t e atsin 0t的频谱。

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